Olá pessoal, esta publicaçäo é sobre uma boa técnica de prova a teoria dos números úteis no concurso de matemática como IMO, IMC, etc. O chamado Vieta Root Jumping. O Vieta jumping, que tem um tema comum de uma prova por descendência infinita, por exemplo graças a Vieta jumping, podemos ter um Árvore de Markov, que é gerado por Números de Markov

Números de Markov

Um número de Markov é um número inteiro positivo , ou que faz parte de uma soluçao para a equação diofantina de Markov: . Assim, através de equação anterior temos a seqüência .

Em particular se pode normalizar os triplos para que . Então se é um triple de Markov então por Vieta jumping é assim . Lindo, não é?

Mas como chegamos a ? Bem, nós podemos fazer isso através de Fórmulas de Vieta

Fórmulas de Vieta

Fórmulas de Vieta são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio de somas e produtos de suas raízes. Qualquer polinômio geral de grau

(com os coeficientes de ser números reais ou complexos e ) é conhecido pela Teorema fundamental da álgebra ter raízes complexas . Fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio {} a somas e produtos de suas raízes assinados {} do seguinte modo:

De forma equivalente, afirmou o ()º coeficiente está relacionada com uma soma de todos os possíveis assinado sub-produtos de raízes, tomado por vez:

Por exemplo:

Para o polinômio , as raízes da equação satisfazem

Resolvendo problemas

Já temos as definições básicas para provar algumas afirmações, então vamos començar com o problema clásico de IMO 1998:

Seja e inteiros positivos de modo que divide . Provar que é um quadrado perfeito.

Seja , consideramos todos os pares não negativos que sastifazem a equação:

então {}

Existe um par onde , neste caso temos:

Assim, para este caso a nossa prova está completa. Para comprovar esta afirmação, suponha-se que não é um quadrado perfeito e que é o par que minimizem sobre todos os pares . Assim, assumimos que: , temos a equação:

O que equivale a:

Como uma equação quadrática em . Sabemos que é uma raiz desta equação, pela Vieta’s formula a outra raiz da equação é:

Percebemos que é um inteiro e caso contrário, seria um quadrado perfeito, contradizendo nossa suposição. Também, não pode ser negativa, pois de outra forma:

uma contradição, daí, e portanto . No entanto, porque , temos:

Assim , contradiciendo la minimalidad de C.Q.D.

(IMO 2007) Seja números inteiros positivos. Mostre que se divide , então

Seja , consideramos o par não negativo que satisfazem esta equação:

, Então {},

Existe um par onde , neste caso temos:

Primeiro caso:

Vamos fazer , então

Segundo caso:

Vamos fazer , então

Então,

Substituindo

Assim, para este caso a nossa prova está completa. Para provar essa afirmação, supomos que e que é o par onde and nunca são iguais para todos os pares . Assim, assumimos que

Vamos fazer

O que equivale a dizer:

Como uma equação quadrática em . Através de fórmulas de Vieta sabemos que é uma das raízes dessa equação, a outra é:

Percebemos que é um nùmero inteiro e , a outra forma poderia ser igual a , contrariando nossa suposição. Também nota-se que para qualquer , nem ou não é estritamente necessário. Assim,

Uma contradição, portanto . Assim , contradizendo a declaração de . C.Q.D