Dans mom dernier post Je l’ai écrit d’une introduction á Structure de Poisson, maintenant Je vais expliquer comment nous pouvons décrire une structure de poisson sur variétés avec singularités, ce travail a été réalise par Maria Sorokina dans sa publication: Poisson structure on manifolds with singularities, donc si tu veux avoir des détails, tu devrais le lire, Je suis süre que ça va t’amuser.

Tout d’abord, nous rappelons la définition de la structure de poisson.

Comme Sorokina dit dans le papier, une singularité peut provoquer des charges lourdes sur les pièces de systèmes, dons la clé ici est considérer une algèbre dont le spectre coincide avec la espace de configuration avec singularités. En premier lieu, nous devons utiliser la théorie de l’opérateur différentiel..

Opérateur différentiel

Soit être un -algèbre, un opérateur différentiel linéaire d’ordre est un -homomorphisme avec valeurs dans tel que

, l’essemble de tous opérateur différentiel est représenté par Diff. Maintenant, nous pouvons définir un module quotient par , qui est appelèe le module de symboles d’ordre , de cette manière, nous pouvons définir l’algèbre des symboles pour une algèbre :

Comme tout variété peut être déterminée par la lisse -algèbre sur les fonctions de ce, pour chaque sur est la -algèbre homomorphisme . ça attribue à chaque fonction sa valeur à un point .

Produit fibré d’algèbres

Maintenant, Nous allons décrire l’algèbre désirée comme le produit fibre de deux algèbres connus. Soit , pour variétés . Le produit fibré est unique à isomorphisme unique, cela signifie

est un homomorphisme pour certains -algèbre .

Construction des opérateurs différentiels

Soit être une algèbre qui est le produit cartésien des algèbres et sur l’algèbre . Soit , alors il existe une linéaire unique , for tel appartient à Diff.

Dans l’étude de Sorokina, elle considère comme exemple, nous allons considérer et .

Exemple

Considérons le coordonner transversale sur le plan:

Algèbre des fonctions lisses sur la croix est donnée par la formule:

En appliquant l’algorithme:

Les opérateurs différentiels:

Pour un ordre no nulle:

plus, et if

Crochet de Poisson:

Ainsi, nous obtenons les conditions suivantes:

L’algèbre de symboles est Smbl

Lemme

Démonstration: Définissons homomorphisme de l’algèbre des symboles à

, nous savons que , soit Smbl par Lemme de Hadamard:

Comme

Donc, .

Comme on peut le voir, travail sur les espaces avec singularités est gentil, dans mon prochain post Je vais parler de comment nous pouvons décrire une structure de poisson sur les variétés avec coins, la définition des variétés avec coins a été donnée par Mr. Dominic Joyce dans son papier: On manifolds with corners.