Le 1er Janvier 2016, J’ai soumis un article sur Arxiv a propos de la façon de décrire une structure de poisson sur une varieté avec des coins, Je vais écrire à ce sujet dans un post plus tard, maintenant Je vais parler d’une introduction à comprendre ce qu’est une structure de poisson.

Initiation

Supposer que nous voulons décrire une évolution du système, Comment peut on faire ça? Premier, faisons la liste des éléments d’un système.

  • Soit une varièté lisse (système physique).
  • Soit un point sur (état du système).
  • Soit une fonction lisse sur (appareil de mesure).

Donc, nou pouvons dire que qu’un état sur peut être mesurée par . Comment l’évolution fonctionne dans ce cas?, nous avons besoin d’obtenir un ensemble de dispositifs de mesure (un -algèbre homomorphisme) et alors l’évolution dépend de la façon dont es le comportement dans celle collection, ainsi peut être considérée comme une hamiltonien fonction, plus prêcisément une structure de poisson sur une variétè lisse associe à chaque fonction lisse sur , un champ vectoriel sur . Après cette courte intuition, nous allons définir formellement certains concepts.

Définition

Soit une variété lisse et soit un algèbre de Lie

qui est appelé un Crochet de Poisson sur l’espace vectorial des fonctions lisses sur et il est antisymétrie

Une structure de poisson sur est un champ bivecteur lisse sur satisfaisant , où est le Crochet de Schouten. Soit être une partie ouverte de et soit être des fonctions lisses, l’opération bilinéaire est défini par pour tous , qui satisfait le Identité de Jacobi.

Formalisme Hamiltonien

Pour parler de formalisme hamiltonien, rappelons la définition d’un -forme différentielle.

Si nous prenons le 2-forme à un point d’une variété et il est différentiable, alors nous disons que c’est une 2-forme sur l’espace tangent (i.e. Une fonction antisymétrique 2-linéaire de 2 vecteurs tangente au á x).

Soit une -algébre, alors est appelé un opérateur différentiel linéaire. Soient Diff l’essemble de tous opérateur différentiel d’ordre agissant sur à partir de . Soient un module quotient qui est appelé les -symboles, maintenant laissez-nous définir l’algèbre des symboles pour l’algèbre de la manière suivante:

Soient , où pour et grâce à \ref{a}, on peut dire ça

depuis pour . Appliquant \ref{c} à , nous avons

par l’égalité

Après quelques calculs, nous obtenons

qui est le standard crochet de poisson sur , forme , alors est le champ de vecteurs hamiltonien sur avec le hamiltonien .

Donc, il y a beaucoup de travail à faire et étude sur la structure de poisson, ceci est seulement une courte introduction, toutefois selon de l’espace sur nous travaillons, il est pas toujours facile de définir une structure de poisson, la prochaine fois nous allons parler de comment nous pouvons décrire une structure de poisson sur une variété avec singularités, ceci grâce au travail de Miss Maria Sorokina: Poisson structure on manifolds with singularities.