Nous commençons l’année 2015 avec un bon suje de polynômes, dans ce cas nous allons parler de Le polynôme de Tchebychev, seulement nous prenons le première espèce, nous avons laissé la seconde espèce pour une autre occasion. Alors, qu’est-il?

Définition

Les Polynôme de Tchebychev sont des polynômes avec le plus grand coefficient tête possible, avec la condition que leur valeur absolute dans l’intervalle est délimité pour . Le polynôme de Tchebychev de première espèce sont définis par la relation de récurrence.



Ils sont caractérises par la propriété:

Nous pouvons soulever la question suivante

Montrer que pour chaque il y a un polynôme à coefficients entiers et est premier, tel que pour tous .

Solution

Nous sauvons que et . Pour nous utilisons induction sur .

Comme , Nous pouvons définir depuis et sont de degré et respectivement, est de degré et a le coefficient tête. Il résulte que la construction que tous ses coefficients est des nombres entiers.

En fait, les polynômes orthogonaux de séquence sont líes à la Formule de Moivre.

Formule de Moivre

Pour tout nombre complexe et tout nombre entier .

Prouve:

Nous prouvons cette formule par induction sur et appliquant la somme trigonométrique et les formules de produit. Nous considérons d’abord les entiers non négatifs. Le cas de base est clairement vrai. Pour l’etape d’induction, observez que:

Ici, on a un problème à propos le Polynôme de Tchebychev.

Prouver que la valuer maximum en absolue de tout polynôme unitaire de -ième degrè sur n’est pas moins de

Solution

Notez que l’ègalité est valable pour un multiple de nième du Polynôme de Tchebychev Le coefficient de tête est égal à , alors est un polynôme unitaire et

En outre, les valeurs de dans les points sont alternativement et

Supposons maintenant que est un polynôme unitaire telle que Alors dans les points prend alternativement les valeurs positives et négatives. Par conséquent, le polynôme présente au moins zéros, à savoir, au moins une est très intervalle entre deux points adjacents. Cependant, est un polynôme de degré comme monôme est anunlé, Alors nous avons arrivè à une contradiction.

Au fait, Je voudrais savoir d’autres solutions pour le dernier, donc Je demandé sur MathStackExchange. Si vous voulez partager quelque chose avec moi, s’il vous plaît envoyez-moi un message.

Maintenant, nous décrivons un théoreme engendrè par les Polynômes de Tchebychev.

Le théorème de Chebyshev

Pour fixe, le polynôme est le uniqué -ième degré polynôme Monique, satisfassent

Pour tout autre nième degré du polynôme monique . Nous allons voir un example.

Soient points dans le plan. Prouver que sur un segment de longuour il y a un point tel que

Solution

Nous pouvons supposer que . Coordonnèes complexe associé à des points d’une manière telle que le segment coïncide avec l’intervalle . Alors

est un polynôme monique avec coefficients complexes, et .

Nous pouvons écrite , où est la partie réelle et est la partie imaginaire du polynôme. Comme est réel, on a . Le polynôme est monique, ainsi sur l’intervalle [-1, 1] il varie de zéro à une distance d’au moins autant que le polynôme de Tchebychev. Ainsi, nous pouvons trouver dans cet intervalle de telle sorte que . Cela implique , et mise à l’echelle de de retour en déduit l’existence dans le cas géneral d’un point satisfaisant à l’inégalite de l’énonce.

Un pas de côté de l’image classique, nous considérons aussi les familles de polynômes définie par . C’est déterminé par l’égalite:

Aussi, Je suggère de visiter la réponse étonnante pour:

Soit et de telle sorte que si , alors sur MathStackExchange