Coucou tout le monde, ça va? Pendant cette opportunité nous allons parler a propos de le Inégalité de Cauchy-Schwarz, Il est une inégalité bien connue et utile entres les branches des matemátiques. En fait, Il est un cas particulier de Inégalité de Hölder. En concours de mathématiques, il est très utile. Donc, commençons avec la définition.

Définition

Soient , pour être des nombres réels. Alors:

L’égalité se produit si et seulement si il existe telle que , pour

Une preuve facile pour L’inégalité de Cauchy-Schwarz

Il y a beaucoup de preuves à ce sujet. Je crois que le ci-dessous est la manierè plus facile.

Soit:

Étant une somme de carrés, est toujours non négatif. Maintenant, nous élargissons et recueillons termes:

Le discriminant est , le calcul du discriminant nous avons:

Divisant par 4 et réarrangeant rendements L’inégalité de Cauchy-Schwarz. Il détient lorsque a une racine réelle (répété bien sûr). De la première forme de et en utilisant le fait que la somme des carrés égale à 0 seulement quand chaque carré est égal à 0, nous avons pour tout qui est quand est constant pour tous .

Une preuve trigonométrique

Pour le graphique nous connaissons la suit:

,

,

Application des identités trigonométriques:

Alors:

Nous savons aussi que

Donc:

Par conséquent

qui est le deux variables de L’inégalité de Cauchy-Schwarz

Résoudre les problèmes

Commençons par un problème facile.

Montrer que pour , nous avons

Faisons

Alors, pout L’inégalité de Cauchy-Schwarz

(APMO’ 1991) Pour réels positifs telles que , montrer que

Nous supposons aussi vrai la dernière phrase et faisons un artifice.

Nous savons que , alors au lieu de nous écrivons Aussi, nous allons faire for

Disons que avant la dernière phrase, il y avait un remplacement d’un and for , alors l’inégalité aurait pu se lire comme:

Nous remarquons que la dernière phrase est en fait l’inégalité de Cauchy-Schwarz, alors nous pouvons conclure que:

Mais il ya autre chose, nous remarquons que:

est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ce lemme est connu comme Lemme de Titu. Qui est une forme spéciale qui aide à lutter contre un grand nombre de problèmes d’optimisation impliquant des places dans le numérateur, immédiatement.

(China Mathematical Olympiad 2004) Pour un nombre entier donné , supposons entiers positifs satisfaire et . Prouver que, pour tout nombre réel , l’inégalité suivante est,

Pour , de nous avons

Pour , utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons

Plus, pour des entiers positifs , nous avons et

Pour . Donc